Одной из важных задач теории антенн является исследование краевых эффектов в конечных антенных решетках. Для определения характеристик таких решеток использовано два метода. Первый основан на применении прямых численных методов решения соответствующих граничных задач электродинамики и пригоден для решеток с малым числом элементов. В соответствии со вторым методом в качестве модели конечной решетки применялась бесконечная решетка. Второй метод позволяет определить характеристики излучателей, расположенных в центральной части антенной решетки с большим числом излучающих элементов. Используются и комбинированные методы, когда конечная антенная решетка рассматривается как часть бесконечной периодической структуры, в которой невозбуждаемые излучатели нагружены на согласованные нагрузки. Перечисленные методы имеют один существенный недостаток: их применение не вскрывает физической сущности краевых эффектов и не позволяет эффективно использовать математические средства. Попытка формального математического подхода к исследованию свойств излучателей в краевой области путем анализа результирующей системы линейных алгебраических уравнений не приводит к желаемым результатам ввиду большой сложности подобной задачи.

В данной работе излагается метод анализа характеристик конечных антенных решеток, свободных от перечисленных выше недостатков. Эффективность предлагаемого метода обусловлена тем, что в его основу положена концепция, адекватно отражающая характер физических процессов, протекающих в краевой области конечных решеток. Сущность этой концепции заключается в представлении токов в излучателях конечной антенной решетки в виде суперпозиции невозмущенных токов бесконечной периодической структуры, частью которой является конечная антенная решетка, и краевой волны, распространяющейся от края вглубь решетки. Изменение амплитуды и фазы токов в излучателях краевой области при таком подходе представляет собой результат интерференции невозмущенных токов бесконечной решетки и токов краевой волны. Как показали исследования, краевая волна обладает достаточно устойчивыми характеристиками. Например, в линейных решетках краевая волна при сканировании изменяется только лишь по амплитуде, а скорость волны в решетке и изменение амплитуды при удалении от края остаются практически неизменными. Это позволяет, не выполняя вычислений, построить качественную картину изменения распределения токов в решетке при сканировании. Понимание сущности краевых эффектов позволяет оптимально использовать математические средства.

Теория конечных антенных решеток, базирующаяся на концепции краевых волн, может быть построена различными методами. Прежде всего требуется показать, что краевые волны действительно существуют. Для этого достаточно рассмотреть простейшую модель полубесконечной антенной решетки, что позволяет исключить взаимодействие противоположных краев. В качестве такой антенной решетки выбрана полубесконечная плоская щелевая решетка узких бесконечных параллельных щелей, связанных через согласующие цепи с фидерными линиями, возбуждающими излучатели. Согласующая цепь содержит идеальный трансформатор и реактивное сопротивление. Параметры этих элементов выбираются из условия согласования щелевого излучателя в бесконечной антенной решетке. В качестве операторного уравнения задачи используется уравнение баланса энергии

где S — замкнутая поверхность, охватывающая излучатели и реактивные элементы согласующей цепи; P — комплексная мощность, запасенная в реактивных элементах. Если обозначить как , , , n соответственно напряжение, ток, импеданс реактивного элемента и коэффициент трансформации идеального трансформатора, то уравнение (1) можно представить в таком виде:

где — напряженность магнитного поля p-й щели с единичным напряжением на k-й щели.

Представив ток и напряжение в полубесконечной антенной решетке в виде суммы соответствующих величин в бесконечной решетке и краевой волны

и подставив (3) в (2), получим систему уравнений для определения напряжения и тока краевой волны на входе согласующих цепей излучателей и уравнения для тока и напряжения в бесконечной антенной решетке:

где величина v выражается через шаг решетки, длину волны и угол фазирования .

Если согласование решетки выполняется дли направления фазирования, определяемого значением параметра , то параметры элементов согласующей цепи определяются следующими соотношениями:

где — волновое сопротивление фидерной линии. Формальное решение системы уравнений (4) может быть получено методом Виннера — Хопфа [1,2]. Однако реализация процедуры факторизации в этом случае связана с применением численных методов интегрирования. Поэтому целесообразно оценить возможность использования и других методов решения.

Аналитическое решение может быть получено для предельного случая, когда шаг решетки стремится к нулю. Можно показать, что в этом случае система уравнений (4) преобразуется в интегральное уравнение Фредгольма второго рода со слабо полярным ядром и полубесконечными пределами интегрирования

где — напряжение на входе излучателей бесконечной решетки.

Теория таких уравнений разработана в [3]. Используя ее, можно получить решение уравнения (8). В частном случае, когда решетка сфазирована в направлении касательной к экрану и напряжение в решетке равно напряжению краевой волны, интегральное уравнение, о котором говорилось выше, совпадает с уравнением задачи береговой рефракции, решенной в [3]. Результаты анализа решения этой задачи, полученные в [3], непосредственно характеризуют краевую волну в решетке с малым шагом.

Анализ системы уравнений (4) показывает, что возбуждение краевой волны эквивалентно действию фиктивных источников в виде системы параллельных нитей магнитного тока, расположенных на части экрана, свободной от щелей. Поле излучения фиктивных источников в значительной мере определяет интенсивность и структуру краевой волны. Основные свойства волны фиктивных источников могут быть выявлены с помощью асимптотических методов. Асимптотические оценки показывают, что поле фиктивных источников представляет собой цилиндрическую волну, распространяющуюся вдоль полубесконечной решетки. При изменении направления фазирования поле фиктивных источников сохраняет характер цилиндрической волны и изменяется только лишь ее амплитуда. Следствием этого является и постоянство структуры поля краевой волны, которая при сканировании также изменяется только по амплитуде. Исключение составляют лишь небольшие секторы углов фазирования около направлений, при которых дифракционные максимумы пересекают границу действительных и мнимых углов или при фазировании решетки в направлении, параллельном плоскости решетки. В указанных случаях в поле фиктивных источников преобладает поле плоской однородной волны, распространяющейся вдоль плоскости решетки. Поле волны фиктивных источников не убывает при удалении от края решетки. Поэтому амплитуда краевой волны убывает медленнее по сравнению с другими направлениями фазирования.

При отклонении луча от нормали в сторону части экрана без щелей максимум поля излучения фиктивных источников направлен от решетки и амплитуда поля фиктивных источников уменьшается. Если максимум поля излучения поля решетки отклоняется в сторону решетки, то амплитуда волны фиктивных источников увеличивается. В соответствии с изменением амплитуды волны фиктивных источников изменяется и амплитуда краевой волны. При проявлении резонансных явлений напряжение в щелевых излучателях равно напряжению краевой волны, так как напряжение в бесконечной периодической структуре равно нулю.

В простейших случаях система уравнений краевой волны может быть решена прямыми численными методами. Примером является рассмотренная полубесконечная щелевая антенная решетка. Однако эти методы становятся малоэффективными при определении краевой волны в решетках с более сложными излучателями. Для определения краевой волны в таких решетках разработана итерационная процедура, сущность которой заключается в следующем.

При нахождении токов, возбуждаемых полем фиктивных источников, предполагается, что конечная решетка дополнена до бесконечной излучателями, нагруженными на согласованные нагрузки. Найденное решение корректируется путем вычитания вклада в краевую волну от излучателей дополнительной решетки. При этом вновь предполагается, что конечная решетка дополнена до бесконечной и т. д.

Рассмотрим в качестве примера полубесконечную щелевую решетку. Решение системы уравнений (4) представляется в виде суммы

слагаемые которой являются соответственно решениями следующих систем уравнений:

Первая система уравнений определяет приближенное решение и поправку к приближенному решению системы уравнений (4) на n-м шаге итерационной процедуры и описывает возбуждение бесконечной антенной решетки.

Уравнение (11) соответствует исходной полубесконечной решетке и его решение дополняет приближенное решение системы уравнений (4)

до точного (9).

Система уравнений (10) решается методом преобразования Фурье. Выбор необходимого количества шагов итерационной процедуры производится так, чтобы погрешность приближенного решения (12) не превышала допустимое значение. Это исключает необходимость решения системы уравнений (11) для полубесконечной решетки. При обосновании сходимости итерационной процедуры доказывается, что с ростом числа итераций вектор-столбец свободных членов системы уравнений (10) стремится к нулю, и определяются условия, при которых определитель этой системы не равен нулю.

Асимптотические оценки поля фиктивных источников и численный эксперимент показывают, что каждая поправка к приближенному решению и само приближенное решение системы уравнений краевой волны описываются практически одной и той же функцией и различие между ними определяется лишь амплитудными коэффициентами. Это обстоятельство позволяет существенно упростить итерационную процедуру.

Возможность упрощения связана с тем, что отношение практически не зависит от номера итерации. Поэтому решение системы уравнений (4) можно представить в таком виде: где , T — могут быть определены на первом шаге итерационной процедуры, если одновременно с краевой волной в исследуемой решетке определить побочную краевую волну, возбуждаемую в излучателях дополнительной решетки. В случае конечной щелевой решетки, состоящей из N излучателей, систему уравнений, описывающих краевые волны, в соответствии с методикой, изложенной выше, можно представить в виде совокупности двух независимых систем, каждая из которых определяет краевые волны, возбуждаемые одним из краев решетки:

Согласно (13), (14) фиктивные источники, возбуждающие краевые волны , , расположены по разные стороны конечной решетки. Краевые эффекты в конечной решетке определяют суммой решений систем уравнений (13), (14)

Решение каждой из систем уравнений (13), (14) можно получить в виде ряда, члены которого представляют собой краевые волны, возникающие при многократном переотражении первичной краевой волны от краев решетки.

Численные результаты исследования характеристик волны фиктивных источников и краевых волн в полубесконечной щелевой решетке представлены на рис. 1 — 2. На рис. 1,а, б показаны нормированные зависимости амплитуды волны фиктивных источников от номера излучателя и угла сканирования соответственно для решетки с шагом Т = 0,7. На рис. 1,б отмечены углы фазирования, которым соответствуют кривые 1, 2, 3 рис. 1,а. Из сравнения графиков следует, что характер зависимости амплитуды волны фиктивных источников от расстояния до края решетки сохраняется неизменным для широкого сектора углов сканирования, за исключением секторов около направления фазирования, соответствующих переходу дифракционных максимумов высших порядков через границу действительных и мнимых углов. Аналогичные свойства имеют и соответствующие краевые волны (рис. 1,в). На рис. 1,в показана также зависимость фазы краевой волны от расстояния до края решетки, из которой следует, что фазовая скорость краевой волны равна скорости света в среде над экраном со щелями. Кривые 1, 2, 3 на рис. 1,в, 2 соответствуют кривым 1, 2, 3 на рис. 1,а и точкам , , на рис. 1,б.

Кривые, представленные на рис. 2, а, характеризуют зависимость напряжения в щелях полубесконечной решетки от номера излучателя, представляющую результат интерференции краевой волны и напряжения в щелях бесконечной щелевой решетки. Изменения периода и амплитуды осциляций напряжения в щелях краевой зоны при изменении направления фазирования полностью согласуется с качественными соображениями, изложенными выше.

На рис. 2, б показана диаграмма направленности F крайнего щелевого излучателя и диаграмма направленности краевой волны . Диаграмма направленности краевой волны имеет два максимума, один из которых направлен вдоль плоскости решетки, а другой под углом дифракционного максимума в решетке с шагом T = 0,7, для направления фазирования в плоскости решетки. Можно показать, что излучение краевой волны приводит к «заплыванию» нулевого провала диаграммы направленности излучателей краевой зоны, направленного в сторону от решетки (слева от максимума F на рис. 2, б).

Таким образом, предложенный метод позволяет построить конструктивную теорию конечных антенных решеток.