При исследовании стационарных и волновых процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) часто приходят к уравнениям Лапласа и Гельмгольца:

В электродинамике в качестве функции может выступать потенциал электрического поля, созданного зарядами или токами при условии отсутствия объемных зарядов в рассматриваемой области. С точки зрения иллюстративности применения обобщенного метода Фурье разделения переменных (ОМФ) интерес представляет внутренняя смешанная краевая задача для этих уравнений на плоскости в прямоугольной области. Геометрия этой задачи поясняется рис. 1.

Постановку этой задачи можно сформулировать следующим образом: найти функцию U(x,y), удовлетворяющую внутри области ограниченной контуром L уравнению:

либо уравнению:

и граничным условиям на отдельных участках рассматриваемого контура:

Можно показать, что решения приведенных уравнений, получаемые классическим методом Фурье разделения переменных, т.е. при представлении искомой функции в виде U(x,y)=X(x)Y(y), не может удовлетворить граничным условиям рассматриваемых задач. Находясь в рамках классического метода Фурье, эти задачи можно решить благодаря искусственному приему. А именно, пользуясь линейностью уравнений (1) и (1’), рассматриваемые задачи разбивают на вспомогательные подзадачи. Например, для задачи с уравнением Гельмгольца (1’) — (2) вспомогательные задачи (3) — (4) и (5) — (6) выглядят следующим образом:

Решение задачи (1’) — (2) представляется в виде суперпозиции решений (3) — (4) и (5) — (6), т.е. . Аналогично можно поступить и для задачи с уравнением Лапласа (1)-(2).

Проиллюстрируем на примере краевой задачи для уравнения Гельмгольца, как более сложного из рассматриваемых, мощь и возможности обобщенного метода Фурье разделения переменных, позволяющего исключить необходимость рассмотрения вспомогательных задач. Для этого частные решения задачи (1’) — (2) будем искать в виде ОМФ-2 [1]

где функции как и функции являются линейно независимыми. Тогда уравнение (1) может быть приведено к виду:

Поступая в соответствии с теорией ОМФ [1] (ОМФ-2, r=2), вместо (8) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

где — постоянные решения билинейных функциональных уравнений. Используя требование независимости функций в (7) и гипотезу о достаточности размерности функционального базиса полагаем . Система (9) примет вид:

где использованы обозначения: .

Общие решения системы (10) имеют вид

где — постоянные интегрирования ОДУ.

С учетом (11), частные решения (8) будут иметь вид

Общее решение уравнения (1’) будет представлять собой суперпозицию всех частных решений (12) с различными значениями постоянных т.е.

Значения констант интегрирования в этом решении определим из граничных условий (2). Граничное условие по оси х, имеющее вид , приводит к выражению:

Это выражение при условии

преобразуется к виду:

Если принять, что

то выражение (16) можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по косинусам в интервале (0, b). Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

Граничное условие по оси х, имеющее вид , с учетом (15) и (17) приводит к выражению:

При условии

выражение (19) сводится к ряду Фурье для :

Коэффициенты этого ряда определяются:

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к выражению:

Это выражение можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к разложению функции в ряд Фурье вида:

Коэффициенты этого ряда определяются:

Окончательно, с учетом условий (15), (17) и (20) частные решения краевой задачи(1’)-(2) примут вид:

где и

Выражения определяющие коэффициенты этих решений вытекают из уравнений (18), (22), (24), (26):

Используя приведенную методику, для краевой задачи (1)-(2) с уравнением Лапласа можно получить следующий вид частных решений:

где

Выражения для коэффициентов в этих решениях получены из следующих уравнений:

Приведенные примеры использования ОМФ позволяют сделать однозначный вывод о преимуществах этого метода перед классическим методом разделения переменных. Наиболее наглядно эти преимущества проявляются именно в краевых задачах с граничными условиями определенного вида. Классификация таких задач представляется авторам направлением дальнейших исследований.