Для нескольких слоев, однако, использован приближенный подход, основанный на пренебрежении взаимодействием между слоями по высшим типам пространственных гармоник. Это позволило найти матрицу рассеяния многослойного поляризатора через матрицу рассеяния одного его слоя. При этом вопрос, связанный с оценкой границ применимости такого подхода, не рассматривался.
Цель работы — решение в строгой электродинамической постановке граничной задачи для ММП с учетом полного взаимодействия между его слоями.
Рассмотрим несколько слоев диэлектрика, в некоторых из которых периодически расположены меандровые линии (МЛ) из бесконечно тонкого идеально проводящего материала (рис.1). Через 
обозначим одну из сторон поверхности i-й МЛ. Граничная задача электродинамики формулируется следующим образом: найти вторичное электромагнитное поле, электрический вектор 
которого удовлетворяет условию
 |
(1) |
вне области расположения своих источников удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла, на бесконечности — условиям излучения, обеспечивающим отсутствие волн, приходящих с бесконечности и не имеющих там источников, на ребрах — условиям Мейкснера [2], а в углах — условию интегрируемости. В (1) 
— касательное стороннее электрическое поле, 
— касательная составляющая вторичного электрического поля, возбужденного наведенным на проводниках ММП электрическим током с учетом границ раздела сред.
Рис.1
Как известно [3], сформулированная задача имеет единственное решение. Будем считать, что стороннее электромагнитное поле имеет вид монохроматической (
) плоской волны. Тогда в силу геометрии ММП можно использовать теорему Флоке [4].
Введем следующие обозначения: 
— коэффициент «передачи» i-й гармоники Флоке (i — обобщенный индекс [4]) из l-го в s-й слой (
); 
— коэффициент «отражения» i-й гармоники Флоке от верхней границы l-го слоя; 
— коэффициент «отражения» i-й гармоники Флоке от нижней границы l-го слоя.
Коэффициенты и (при l<s) можно найти при возбуждении l-го слоя многослойной структуры (в отсутствии всех МЛ) i-й гармоникой Флоке в положительном направлении оси OZ, а коэффициенты и (при l>s) — i-й гармоникой Флоке в отрицательном направлении оси OZ.
Применяя в соответствующем слое к вспомогательному и искомому полям лемму Лоренца в интегральной форме [3] и используя условие ортогональности парциальных волн [5], можно получить выражения, связывающие коэффициенты разложения полей с электрическим поверхностным током 
, являющимся суммой токов, протекающих по обеим сторонам k-й МЛ [5].
Используя граничное условие (1), получаем систему операторных уравнений (по терминологии [5]) первого рода относительно токов 
:
 |
(2) |
где 
— результат решения задачи дифракции плоской волны возбуждения на многослойной структуре для m-го слоя, 
— общее число МЛ, 
— электрическая тензорная функция Грина уравнений Максвелла
Здесь 
— знак диадного произведения векторов, 
— точка наблюдения, 
— точка истока, 
, 
— норма i-й собственной волны l-го слоя [5].
Для удобства плоскую волну запишем в сферической системе координат
 |
(3) |
где 
— волновое число.
Для решения (2) используем метод Галеркина. В качестве модели МЛ выберем показанную на рис.2,а конфигурацию пересечения проводников, предложенную в [1], считая при этом, что 
и длины периодов 
и 
МЛ (
— длина волны в диэлектрике, в котором расположена МЛ), и пренебрегая поперечными токами. Зависимость продольных токов от поперечных координат выберем таким образом, чтобы обеспечивалась требуемая особенность на ребрах в соответствии с условиями Мейкснера [2]. Рассмотрим характерный элемент МЛ (рис.2,б), ориентированный под углом 
к оси МЛ. В соответствии со сделанными замечаниями ток на нем в локальной системе координат 
, где 
, а 
определяется видом выбранного базиса вдоль оси 
и является разложением в ряд по этому базису с неизвестными коэффициентами.
После нахождения тока на МЛ можно рассчитать элементы матрицы рассеяния 
(
) поляризатора. Для определенности будем считать, что i,j = 1,3 соответствуют плоской волне, поляризованной под углом 
к оси МЛ, а i,j = 2,4 — плоской волне, поляризованной под углом 
. Причем индексы j, равные 1 и 2, связаны с волной, падающей в положительном направлении оси OZ, а индексы j, равные 3 и 4, — в отрицательном. Тогда, например, элемент 
представляет собой коэффициент преобразования волны, поляризованной под углом и падающей вдоль отрицательного направления, в волну, прошедшую через ММП и поляризованную под углом : 
. Коэффициент прохождения волны, поляризованной под углом : 
, где 
,
— компоненты электрического поля прошедшей через ММП волны в сферической системе координат.
На основании полученных формул была составлена программа для расчетов на ПЭВМ, причем в качестве базисных функций была взята полная ортогональная система
где 
, 
, 
, 
, 
(см. рис.2,а), а 
и 
определяют направление, с которого приходит плоская волна (3).
Рис.2
Функция 
введена для устранения скачков фазы в местах соединения проводников МЛ
.
В качестве проверки работоспособности алгоритма и программы были проведены расчеты для одного слоя ММП из [1]. Полученные результаты для дифференциального сдвига фаз между коэффициентами 
и совпали с приведенными в [1] с графической точностью.
Результаты расчета для ММП из четырех слоев, разделенных между собой воздушной прослойкой 
=1 толщиной 0,1667
, с параметрами: 
=0,0067, 
=5,4 (i=1… 4); =0,09067; =0,32; 
=
=0,0107; 
= 0,056; 
= 0,099 ( — длина волны на начальной частоте 
) в полосе частот при 
, приведены на рис. 3 (непрерывная и штриховая кривые). Там же показаны результаты экспериментальных исследований на макете, в котором вместо воздушной прослойки использовался пенопласт. Отличие не превышает 8…10% и вызвано неадекватностью экспериментального образца и математической модели, особенно ощутимой при большом числе слоев ММП. Эта неадекватность заключается, прежде всего, в конечных размерах реального ММП и в использовании вместо воздушной прослойки пенопласта с >1 (=1,05…1,15).
Рис.3
При расстояниях между слоями МЛ менее (0,18…0,2)
необходимо учитывать взаимодействие по высшим пространственным гармоникам. Применение ММП позволяет, по сравнению с однослойной МЛ, существенно расширить рабочий диапазон длин волн (до октавы и более).
Автор благодарен Л. И. Сидоренко за предоставленные результаты экспериментальных исследований и В. В. Корышеву за обсуждение полученных теоретических результатов и внимание к работе.
