Даны элементы теории решения сингулярных интегральных уравнений в классе абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций, а также теории потенциала простого и двойного слоев для уравнения Гельмгольца. На основе этих результатов дано сведение широкого круга краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, а также задач аэродинамики, электротехники и теории упругости к краевым сингулярным или гиперсингулярным интегральным уравнениям. Исследованы некоторые свойства этих уравнений.

Для сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений приведены методы вычислений и численного решения (типа метода дискретных вихрей и интерполяционного типа) как в классе абсолютно интегрируемых, так и в классе неинтегрируемых функций. На основе этих результатов было дано математическое обоснование метода дискретных вихрей численного решения задач аэродинамики.

Даны примеры вычислений, приведено построение дискретных математических моделей для широкого круга задач: стационарных и нестационарных, линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач аэродинамики, включая обтекание плохообтекаемых тел (т.е. тел, имеющих острые кромки, углы). Кроме этого, построены дискретные математические модели также и для некоторых плоских задач теории упругости и электростатики, которые могут служить основой численного эксперимента в этих прикладных областях.

Приведены результаты расчетов конкретных задач.